連續型隨機變量及其概率分布.doc8

2.3 連續型隨機變量及其概率分布
連續型隨機變量是一種重要的非離散型的隨機變量。在這一節中我們要給出連續型隨機變量的定義、性質、概率計算，並介紹一些常用的連續型隨機變量的分布。
2．3．1 連續型隨機變量及其概率密度函數
定義2.3 設F(x)是隨機變量X的分布函數，若存在非負函數f(X)，對任意實數x，有
(2.2)
則稱X為連續型隨機變量。稱f(X)為X的概率密度函數或密度函數，也稱為概率密度。
由（2.2）式知，連續型隨機變量的分布函數是連續函數，且在（2.2）式中改變密度函數f(X)在個別點上的函數值，不會改變分布函數F(x)的取值，可見密度函數不是唯一的。
由定義可知，密度函數f(x)有以下性質：
1.
2.
3．若f(x)在點x處連續，則F(x)=f(x)
由性質3知在f(x)的連續點x處有
它表示了隨機變量X在區間 (x,x+△x]上的平均概率，其與物理學中線密度的定義類似，故稱f(x)為密度函數。若不計高階無窮小，則當△x很小時，由上式可得 它表示X落在小區間(x,x+△x]裏的概率近似地等於 f(x)△x，它在連續型隨機變量理論中所起的作用與P(X=xk)=pk在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。
若一個函數滿足性質1，則它可以是某個隨機變量的密度函數。
由性質1知，介於曲線y=f(x)與Ox軸之間平麵圖形的麵積為1（圖2-1）, 由性質2知， 落在區間(x1,x2]裏的概率等於圖2-2中陰影部分的麵積.
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