南京師範大學1998年碩士研究生入學考試量子力學試題

南京師範大學1998年碩士研究生入學考試量子力學試題

一、（10分）若要使電子的德布羅意波長達到1米，那麼電子的速度應為多少？若將電子換為中子，其速度又為多少？通過計算，你認為宏觀尺度上的物質波是否現實？

二、（10分）已知作一維運動的自由粒子的位置與動量之間的測不準關係為 ，導出其時間與能量之間的測不準關係。

三（15分）（1）計算下列對易關係： 。

（2）若算符 與它們的對易子 都對易，證明：

（3）證明在有心力場中運動的粒子，其角動量守恒。（不考慮自旋）

四、（10分）一個質量為m的粒子在勢阱 中運動，求其基態，第一、二激發態的能量。

五、設有5個沒有相互作用的質量為μ自旋為1的粒子，在一維諧振子勢阱 中運動，問其體係的基態能量為多少？若將這5個粒子換成自旋為 的粒子（質量仍為μ），則體係的基態能量又為多少？

六、（15分）計算算符 的本征值與本征函數，其中 為常數， 為 單位矩陣， 為泡利算符。若 ，則本征值與本征函數為多少？

七、對於單電子原子，其哈密頓量為

（1）試證明軌道角動量 和自旋 不是守恒量，總角動量 是守恒量。

（2）若自旋—軌道相互作用 可當作微擾，計算此係統的能量到一級修正。（ 的本征能量為 ，本征函數： 為自旋波函數）

八、現有一兩電子體係，已知一個電子處於 的本征態，計算：

（1）體係的自旋波函數，

（ 2 ）總自旋 S 的右能值與相應
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